Àlgebra exterior

Àlgebra Exterior

Nota prèvia: A continuació es tractarà només l'àlgebra exterior d'espais vectorials de dimensió finita, i principalment sobreRR, ja que és suficient per al propòsit d'aquest article.

Índex

Els productes entre vectors

Quan es calcula amb vectors, es maneja un conjunt amb una definició de suma i un producte per un escalar . Un espai vectorial es pot intuir com un sistema de sumes, de manera que cada element es pot obtenir sumant-ne d'altres.

No obstant això, la suma de vectors no aporta prou riquesa per a tots els models matemàtics, i es requereixen diferents productes entre vectors.

Un comentari sobre la notació: Se solen escriure els vectors referits a les bases amb components en superíndexsv=α1e1+α2e2+…+αnenv=α1e1​+α2e2​+…+αnen​, i covectors al revésω=α1e1+α2e2+…+αnenω=α1​e1+α2​e2+…+αn​en, però en aquest article s'ha preferit utilitzar sempre subíndexs, a fi d'introduir de forma natural els claudàtors d'antisimetrització com a subíndexs;

El producte interior

També producte escalar o producte punt, que torna un escalar el valor del qual és la projecció d'un vector sobre l'altre

v.u=v1u1+v2u2+...+vnunv . u=v1​u1​+v2​u2​+. . .+vn​un​

El producte vectorial

També producte creu. Es defineix només entre vectors tridimensionals, i torna un vector perpendicular als altres dos en el sentit de la «regla del llevataps».

v×u=[ijkvxvivzuxuiuz]v×u=⎣⎢⎡​ivx​ux​​jvi​ui​​kvz​uz​​⎦⎥⎤​

El producte tensorial o producte extern

Sense entrar en profunditats, un cas particular és quan multiplica dos vectors per tornar un operador bilineal.

v⊗u=[v1v2v3]⊗[u1u2u3u4]==[v1u1v1u2v1u3v1u4v2u1v2u2v2u3v2u4v3u1v3u2v3u3v3u4]v⊗u=⎣⎢⎡​v1​v2​v3​​⎦⎥⎤​⊗[u1​​u2​​u3​​u4​​]==⎣⎢⎡​v1​u1​v2​u1​v3​u1​​v1​u2​v2​u2​v3​u2​​v1​u3​v2​u3​v3​u3​​v1​u4​v2​u4​v3​u4​​⎦⎥⎤​

Finalment hi ha un altre producte que és el motiu d'aquest article, el producte exterior. No confondre aquest amb el producte extern o tensorial, malauradament en castellà la paraula pot conduir a equívocs.

El producte exterior

O producte falca . La utilitat potser més immediata daquest producte és treballar amb àrees i volums n-dimensionals. Aquest producte aplicat per exemple a vectors deR2R2torna un resultat la magnitud del qual és comparable a l'àrea del paral·lelogram format per ells.

v∧u~det[v1v1u1u2]v∧u~d i t[v1​u1​​v1​u2​​]

I per a tres vectors aR3R3torna un resultat la magnitud del qual és comparable al volum del paral·lelepípede format pels tres vectors

v∧u∧w~det[v1v2v3u1u2u3w1w2w3]v∧u∧w~d i t⎣⎢⎡​v1​u1​w1​​v2​u2​w2​​v3​u3​w3​​⎦⎥⎤​

i en general per nnvectors n-dimensionals retorna un resultat la magnitud del qual és comparable al volum n-dimensional corresponent.

El sistema algebraic format per un espai vectorial al qual se'l dota d'un producte exterior s'anomena àlgebra exterior o àlgebra de Grassmann (1844), en honor del seu principal descobridor. L'interès que té per a la física l'àlgebra exterior és màxim:

• Invariablement allò que es fica dins d'una integral, l'integrant, serà un element de línia, de superfície, de volum o k-volum «infinitesimals», que són elements d'un àlgebra exterior. Se'ls denomina k-formes diferencials .
• Totes les magnituds físiques que es poden expressar com a tensors contravariants antisimètrics són elements d'àlgebra exterior com el treball infinitesimal, el tensor de Faraday, que és l'invariant relativista que representa el camp electromagnètic (una 2-forma), i el quadripotencial electromagnètic (una 1-forma).
• Realitza el tractament rigorós del gradient, rotacional i divergència.

L'objectiu d'aquest article és, doncs, ser l'avantsala d'un altre que té un interès més general en física, que es refereix a k-formes diferencials.

Propietats bàsiques del producte exterior

El producte exterior és distributiu per a la suma, però la seva propietat estrella és que és anticommutatiu, això és siv,u∈Rnv ,u∈Rn, llavors

v∧u=−u∧v⟹v∧v=0v∧u=− u∧v⟹v∧v=0

Avancem que si el producte exterior té més grau que la dimensió de l'espai vectorial, el resultat és nul perquè necessàriament tots els elements del producte tenen alguna base repetida i, per tant, s'anul·len.

Depèn de quantes vegades s'apliqui el producte exterior a un espai vectorial les propietats del resultat són netament diferents, i el desenvoluparem a base d'exemples sobreRnRn. Començarem pel més simple amb interès,Λ2(R2)Λ2( R2).

Bivectors a R 2

Espai: Λ2(R2)Λ2( R2)

Components: Seana,b∈R2a ,b∈R2. El seu producte exterior en components, tenint en compte que és anticommutatiu seria

a∧b=(a1e1+a2e2)∧(b1e1+b2e2)==a1b2e1∧e2+a2b1e2∧e1==(a1b2−a2b1)e1∧e2==det[a1a2b1b2]e1∧e2a∧b=( a1​e1​+a2​e2​)∧( b1​e1​+b2​e2​)==a1​b2​e1​∧e2​+a2​b1​e2​∧e1​==( a1​b2​−a2​b1​) e1​∧e2​==d i t[a1​b1​​a2​b2​​]e1​∧e2​

Aquest és el moment dintroduir una idea que si no sinterioritza pot portar a confusió. Del desenvolupament de dalt és clar que les components linealment dependents ( ld ) de coeficientsa1b2a1​b2​ia2b1a2​b1​, es consoliden en una única component amb coeficient(a1b2−a2b1)( a1​b2​−a2​b1​). Però sabem sempre com contribueix cadascuna de les components ld al valor escalar(a1b2−a2b1)( a1​b2​−a2​b1​)? La solució salomònica passa per atorgar a cada component ld la meitat del valor final, i així es defineixen les 2=2! components del bivector com

a1b2=12(a1b2−a2b1)a2b1=12(a2b1−a1b2)a1​b2​=21​( a1​b2​−a2​b1​)a2​b1​=21​( a2​b1​−a1​b2​)

D'on deriva una coneguda expressió per a les components ld del producte exterior, definint els claudàtors d'antisimetrització com les sumes per a índexsi<ji<j,

a[ibj]=12(aibj−ajbi)a[ i​bj ]​=21​( ai​bj​−aj​bi​)

i s'obté

(aiei)∧(bjej)=12(aibj−ajbi)ei∧ej=a[ibj]ei∧ej[Foˊrmula1]( ai​ei​)∧( bj​ej​)=21​( ai​bj​−aj​bi​) ei​∧ej​=a[ i​bj ]​ei​∧ej​[ Foˊr m u l a 1 ]

Dimensió: El resultat només té una dimensió. La base ése1∧e2e1​∧e2​, i no es tracta dun vector, ja que els vectors són els elements que es multipliquen. El resultat és un bivector , i pertany a l'espai quadrat exterior deR2R2.

Magnitud: Casualment l'escalar que precedeix la basee1∧e2e1​∧e2​ coincideix amb làrea del paral·lelogram format per ambdós vectors. Hi ha infinits paral·lelograms amb una àrea donada amb la qual cosa interpretar geomètricament un bivector com el paral·lelogram format per ambdós vectors és una qüestió de preferència. Si es prenen els coeficients definits amb els claudàtors d'antisimetrització, s'interpreta geomètricament com el paral·lelogram de costats iguals l'àrea dels quals és coincident amb la magnitud del bivector.

Orientació: Si commutem el producte exterior, aquest canvia de signe, cosa que permet definir una orientació de la figura «positiva» o «negativa» donats uns eixos.

Representació d'un bivector com a superfície orientada aR2R2

Per a l'exemple de la figura superior amb l'orientació d'eixos donada i amba=(2,1)a=( 2 ,1 )ib=(−1,2)b=( − 1 ,|​, el signe representa l'orientació de la figura.

a∧b=5b∧a=−5a∧b=5b∧a=− 5

Bivectors a R 3

Espai: Λ2(R3)Λ2( R3)

Components: Seana,b∈R3a ,b∈R3. El producte exterior en components, tenint en compte que és anticommutatiu queda així

a∧b=(a1e1+a2e2+a3e3)∧(b1e1+b2e2+b3e3)==(a1b2−a2b1)e1∧e2+(a1b3−a3b1)e1∧e3+(a2b3−a3b2)e2∧e3a∧b=( a1​e1​+a2​e2​+a3​e3​)∧( b1​e1​+b2​e2​+b3​e3​)==( a1​b2​−a2​b1​) e1​∧e2​+( a1​b3​−a3​b1​) e1​∧e3​+( a2​b3​−a3​b2​) e2​∧e3​

Igual que en el cas anterior, es generalitzen els coeficients de les 2=2! components linealment dependents de cada bivector amb els claudàtors d'antisimetrització

a[ibj]=12(aibj−ajbi)a[ i​bj ]​=21​( ai​bj​−aj​bi​)

L'expressió general per al producte exterior de bivectors en components ja enunciada continua sent vàlida

(aiei)∧(bjej)=12(aibj−ajbi)ei∧ej=a[ibj]ei∧ej( ai​ei​)∧( bj​ej​)=21​( ai​bj​−aj​bi​) ei​∧ej​=a[ i​bj ]​ei​∧ej​

Dimensió: El resultat té tres dimensions. La base està formada pel conjunt de bivectorse1∧e2,e1∧e3,e2∧e3e1​∧e2​,e1​∧e3​,e2​∧e3​, i pertanyen a l'espai quadrat exterior deR3R3.

Magnitud: En aquest cas la interpretació geomètrica és la de tres figures planes immerses enR3R3.

Relació amb el producte vectorial: Els coeficients que precedeixen els bivectors base coincideixen a més amb les components del producte vectorial. És impossible no intentar fer el paral·lelisme d'aquest producte exterior amb el producte vectorial, però hi ha una diferència fonamental. El producte vectorial retorna un vector l'orientació del qual (signe) depèn del criteri de la «regla del llevataps», que és una definició arbitrària, motiu pel qual se l'anomena vector axial o pseudovector . En el cas del producte exterior, el resultat depèn de lordre en què es multipliquen els vectors. A més el producte exterior torna tres bivectors, i el producte vectorial un sol vector.

Orientació: Cada bivector es pot interpretar com una figura plana orientada. La longitud dels costats no està determinada sempre que l'àrea coincideixi amb el coeficient que precedeix cada base.

Representació d'un bivector com a superfície orientada aR3R3

Trivectors a R 3

Espai: Λ3(R3)Λ3( R3)

Components: Seana,b,c∈R3a ,b ,c∈R3. El producte exterior en components tenint en compte que és anticommutatiu és

a∧b∧c=(a1e1+a2e2+a3e3)∧(b1e1+b2e2+b3e3)∧(c1e1+c2e2+c3e3)==det[a1a2a3b1b2b3c1c2c3]e1∧e2∧e3a∧b∧c=( a1​e1​+a2​e2​+a3​e3​)∧( b1​e1​+b2​e2​+b3​e3​)∧( c1​e1​+c2​e2​+c3​e3​)==d i t⎣⎢⎡​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​⎦⎥⎤​e1​∧e2​∧e3​

Similarment als casos anteriors, es defineixen els 6=3! coeficients de les components linealment dependents per «equilibrar-ne els pesos» amb els claudàtors d'antisimetrització. Suposa realitzar totes les sumes peri<j<ki<j<k, que han de ser1.2.3=3!1 . 2 . 3=3 !elements.

a[ibjck]=13!det[aiajakbibjbkcicjck]a[ i​bj​ck ]​=3 !1​d i t⎣⎢⎡​ai​bi​ci​​aj​bj​cj​​ak​bk​ck​​⎦⎥⎤​

I sembla que resulta que l'expressió generalment coneguda per al producte exterior de tres vectors en components és aquesta

(aiei)∧(bjej)∧(cjek)=13!det[aiajakbibjbkcicjck]ei∧ej∧ek=( ai​ei​)∧( bj​ej​)∧( cj​ek​)=3 !1​d i t⎣⎢⎡​ai​bi​ci​​aj​bj​cj​​ak​bk​ck​​⎦⎥⎤​ei​∧ej​∧ek​==a[ibjck]ei∧ej∧ek=a[ i​bj​ck ]​ei​∧ej​∧ek​

Dimensió: El resultat té una dimensió. La base és el trivectore1∧e2∧e3e1​∧e2​∧e3​, i pertanyen a l'espai cub exterior deR3R3.

Magnitud: La interpretació geomètrica és el paral·lelepípede format pels tres vectors que es multipliquen, ja que el seu coeficient coincideix amb el volum d'aquesta figura, encara que hi ha infinits paral·lelepípedes que compleixen aquesta condició!.

Orientació: Igual que per als bivectors, en canviar el lloc de dos vectors canvia el signe del resultat. Serveix per caracteritzar un element de volum orientat.

Representació d'un trivector com a volum orientat aR3R3

Bivectors a R 4

Espai: Λ2(R4)Λ2( R4)

Components: Seana,b∈R4a ,b∈R4. El producte exterior en components tenint en compte que és anticommutatiu seria

a∧b=(a1e1+a2e2+a3e3+a4e4)∧(b1e1+b2e2+b3e3+b4e4)==(a1b2−a2b1)e1∧e2+(a1b3−a3b1)e1∧e3+(a1b4−a4b1)e1∧e4++(a2b3−a3b2)e2∧e3+(a2b4−a4b2)e2∧e4++(a3b4−a4b3)e3∧e4a∧b=( a1​e1​+a2​e2​+a3​e3​+a4​e4​)∧( b1​e1​+b2​e2​+b3​e3​+b4​e4​)==( a1​b2​−a2​b1​) e1​∧e2​+( a1​b3​−a3​b1​) e1​∧e3​+( a1​b4​−a4​b1​) e1​∧e4​++ ( a2​b3​−a3​b2​) e2​∧e3​+( a2​b4​−a4​b2​) e2​∧e4​++ ( a3​b4​−a4​b3​) e3​∧e4​

Com per als bivectors ja vists, es defineixen els 2=2! coeficients de les components linealment dependents dels 6 bivectors considerats, amb els claudàtors d'antisimetrització

a[ibj]=12(aibj−ajbi)a[ i​bj ]​=21​( ai​bj​−aj​bi​)

L'expressió general per al producte exterior de bivectors en components continua sent vàlida

(aiei)∧(bjej)=12(aibj−ajbi)ei∧ej=a[ibj]ei∧ej( ai​ei​)∧( bj​ej​)=21​( ai​bj​−aj​bi​) ei​∧ej​=a[ i​bj ]​ei​∧ej​

Dimensió: El resultat té sis dimensions. La base està formada pels bivectorse1∧e2,e1∧e3,e1∧e4,e2∧e3,e2∧e4,e3∧e4e1​∧e2​,e1​∧e3​,e1​∧e4​,e2​∧e3​,e2​∧e4​,e3​∧e4​i pertanyen a l'espai quadrat exterior deR4R4.

Magnitud: En aquest cas la interpretació geomètrica és la de sis figures planes immerses enR4R4, les superfícies del qual coincideixen amb els coeficients que precedeixen les bases.

Orientació: El comentari és el mateix que perΛ2(R3)Λ2( R3)

Trivectors a R 4

Espai: Λ3(R4)Λ3( R4)

Components: Seana,b,c∈R4a ,b ,c∈R4. El producte exterior en components tenint en compte que és anticommutatiu, tenint en compte que el lector ja ha d'haver recollit la idea general, denotant els multivectors base come1∧e2∧e3≡e123e1​∧e2​∧e3​≡e1 2 3​, i els coeficients comCnCn​, per abreujar la notació …

a∧b∧c=C1e123+C2e124+C3e134+C4e234a∧b∧c=C1​e1 2 3​+C2​e1 2 4​+C3​e1 3 4​+C4​e2 3 4​C1=det[a1a2a3b1b2b3c1c2c3]C2=det[a1a2a4b1b2b4c1c2c4]C1​=d i t⎣⎢⎡​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​⎦⎥⎤​C2​=d i t⎣⎢⎡​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a4​b4​c4​​⎦⎥⎤​C3=det[a1a3a4b1b3b4c1c3c4]C4=det[a2a3a4b2b3b4c2c3c4]C3​=d i t⎣⎢⎡​a1​b1​c1​​a3​b3​c3​​a4​b4​c4​​⎦⎥⎤​C4​=d i t⎣⎢⎡​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​a4​b4​c4​​⎦⎥⎤​

Es defineixen els 6=3! coeficients de les components linealment dependents de cadascun dels 4 trivectors independents, amb la finalitat d'«equilibrar els seus pesos» de nou amb els claudàtors d'antisimetrització,

a[ibjck]=13!det[aiajakbibjbkcicjck]a[ i​bj​ck ]​=3 !1​d i t⎣⎢⎡​ai​bi​ci​​aj​bj​cj​​ak​bk​ck​​⎦⎥⎤​

I del que ja s'ha vist ia risc de resultar pesat, l'expressió generalment coneguda per al producte exterior de tres vectors en components és aquesta

(aiei)∧(bjej)∧(cjek)=13!det[aiajakbibjbkcicjck]eijk=( ai​ei​)∧( bj​ej​)∧( cj​ek​)=3 !1​d i t⎣⎢⎡​ai​bi​ci​​aj​bj​cj​​ak​bk​ck​​⎦⎥⎤​ei j k​==a[ibjck]eijk=a[ i​bj​ck ]​ei j k​

Dimensió: El resultat té quatre dimensions.e123,e124,e134,e234e1 2 3​,e1 2 4​,e1 3 4​,e2 3 4​i pertanyen a l'espai cub exterior deR4R4.

Magnitud: En aquest cas la interpretació geomètrica és la de quatre paral·lelepipedes immersos enR4R4, els 3-volums dels quals coincideixen amb els coeficientsCnCn​.

Orientació: El comentari és el mateix que perΛ3(R3)Λ3( R3)

4-vectors a R 4

Espai: Λ4(R4)Λ4( R4)

Components: Seana,b,c,d∈R4a ,b ,c ,d∈R4. El producte exterior en components tenint en compte que és anticommutatiu serà…

a∧b∧c∧d=det[a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4]e1234a∧b∧c∧d=d i t⎣⎢⎢⎢⎡​a1​b1​c1​d1​​a2​b2​c2​d2​​a3​b3​c3​d3​​a4​b4​c4​d4​​⎦⎥⎥⎥⎤​e1 2 3 4​

Aquest objecte té 24=4! components linealment dependents, que s'aglutinen en una de sola. Si per curiositat desitgem conèixer-ne cadascuna, es defineixen com s'ha vist en els casos anteriors… però ja no són tan manejables perquè són moltes. El claudàtor d'antisimetrització porta les sumes a tots els índexsi<j<k<li<j<k<lque són1.2.3.4=4!1 . 2 . 3 . 4=4 !.

a[ibjckdl]=14!det[aiajakalbibjbkblcicjckcldidjdkdl]a[ i​bj​ck​dl ]​=4 !1​d i t⎣⎢⎢⎢⎡​ai​bi​ci​di​​aj​bj​cj​dj​​ak​bk​ck​dk​​al​bl​cl​dl​​⎦⎥⎥⎥⎤​

No ha de ser una sorpresa trobar que

(aiei)∧(bjej)∧(ckek)∧(dlel)=14!det[aiajakalbibjbkblcicjckcldidjdkdl]eijkl=( ai​ei​)∧( bj​ej​)∧( ck​ek​)∧( dl​el​)=4 !1​d i t⎣⎢⎢⎢⎡​ai​bi​ci​di​​aj​bj​cj​dj​​ak​bk​ck​dk​​al​bl​cl​dl​​⎦⎥⎥⎥⎤​ei j k l​==a[ibjckdl]eijkl=a[ i​bj​ck​dl ]​ei j k l​

Dimensió: El resultat torna a tenir una sola dimensió. La base és el 4-vectore1∧e2∧e3∧e4e1​∧e2​∧e3​∧e4​i pertany a l'espai quarta potència exterior deR4R4.

Magnitud: La interpretació geomètrica és la d'un element d'hipervolum o 4-volum aR4R4, ja que el coeficient que precedeix la base coincideix amb aquest volum.

Orientació: Són elements de 4-volum orientats aR4R4

Representació figurada del 4-volum corresponent amb el multivector aR4R4

Generalització del producte exterior de vectors en components

Fins aquí s'han presentat les expressions particulars dels components del producte exterior per a tots els exemples vistos. Es poden generalitzar pera,b,...,d∈Rna ,b ,. . . ,d∈Rn

(aiei)∧(bjej)∧...∧(dnen)=a[ibj...dn]eij...n( ai​ei​)∧( bj​ej​)∧. . .∧( dn​en​)=a[ i​bj​. . . dn ]​ei j . . . n​

L'àlgebra exterior completa

Observem que la dimensió de l'espaiΛk(Rn)Λk( Rn)és el nombre de combinacions dennelements presos dekkakk.

(nk)=n!(n−k)!k!(kn​)=( n−k ) ! k !n !​

I es pot construir la taula de dimensió per a les diferents potències exteriors, identificantΛ0Λ0amb els números reals així:

Λ0Λ0Λ1Λ1Λ2Λ2Λ3Λ3Λ4Λ4

RRnúmeros reals10000

R1R1vectors11000

R2R2plànol12100

R3R3espai13310

R4R44-espai14641

Dimensió deΛk(Rn)Λk( Rn)

Finalment, es defineix l'àlgebra exterior d'un espai vectorialVVcom el producte tensorial

Λ(V)=Λ0(V)⊗Λ1(V)⊗...⊗Λk(V)Λ ( V )=Λ0( V )⊗Λ1( V )⊗. . .⊗Λk( V )

Es diu que és un àlgebra graduada ja que porta la suma de tots els graus del producte exterior, i la seva dimensió és2n2n. Es pot comprovar prosaicament sumant els enters de cada fila de la taula superior.

Un element deΛ(V)Λ ( V )es diu homogeni si només conté només un dels graus de l'àlgebra, de manera que per exemplee1∧e2∧e3≡e123e1​∧e2​∧e3​≡e1 2 3​és homogeni, però1+e23+e1231+e2 3​+e1 2 3​no ho és.

Dualitat de Hodge

Comprovem que a partir d'un cert moment apareix una simetria a les files de la taula anterior que permet definir isomorfismes entre espais de la mateixa dimensió.

El terme de major grau té sempre dimensió 1 igual que el cos d'escalars, i per analogia se'n diu pseudoescalar . Hem vist que els pseudoescalars només es diferencien els uns dels altres per un coeficient, encara que la base és completament diferent!

Per altres graus, per exempleΛ2R3Λ2R3iΛ1R3Λ1R3la dimensió és la mateixa, en aquest cas 3, i permet assignar a cada bivector un vector. L'isomorfisme entre diferents graus de l'àlgebra se'n diu dualitat de Hodge . L'operador estrella de Hodge relaciona un grau, amb el seu dual de Hodge així:

∗:Λk(V)→Λn−k(V)∗:Λk( V )→Λn − k( V )

Introducció a les k-formes diferencials

Una part de l'interès per a la física del producte exterior és el maneig d'elements de línia, superfície, volum i hipervolum infinitesimals, que després s'hi integraran. Si es prenen vectors diferencials a cada punt d'una varietat -que viuen a l'espai diferencials, cotangent a cada punt d'una varietat diferenciable- realitzant el producte falca s'obtindrà un multivector de mida proporcional a l'element de superfície o volum considerat. Aquest element és el que s'integrarà després i l'àlgebraΛ(Vn∗)Λ ( Vn ∗)d'aquests objectes mereix, doncs, una atenció especial. A més avançaré que

• Un element de grau k (una k-forma diferencial), és un tensor covariant antisimètric. Es vol formar un àlgebra tancada tal que el producte exterior de dues k-formes diferencials sigui una altra k-forma diferencial, no sigui que en operar obtinguem un objecte matemàtic que no és coherent amb els operands. Això obliga a caracteritzar d'una forma concreta el producte exterior en aquests casos, i no val caracteritzar-lo com un simple producte tensorial, perquè el producte tensorial de dues k-formes diferencials no ha de ser una altra k-forma diferencial. Podeu veure l'article sobre k-formes diferencials si us interessa el tema.
• Cal definir un operador de diferenciació que partint d'una k-forma torni una (k+1)-forma –una diferencial-exterior- , amb la finalitat de poder derivar tensors habituals a la física, com el tensor de Faraday del camp electromagnètic .